「ガロア理論の頂を踏む（石井俊全著）」p. 488~493

「ガロア理論の頂を踏む（石井俊全著）」p. 488~493 では具体的な方程式x^5 - 6x + 3=0のガロア群がに同型で解が根号を用いて表されないということを示している。なんとなく駆け足感が否めない。

まず、定理6.11のコーシーの定理について

「ガロア理論の頂を踏む（石井俊全著）」p. 490 引用ここから「

他の個数の元で同じグループになることはあるでしょうか。5が素数なので、そういうことは起こらないのです。

」引用ここまで

S={ (x_{1}, x_{2}, …, x_{p}) | x_{i}∈G, x_{1} x_{2}]…x_{p}=e }で、Sの元で巡回して同じになるものを1つのグループとしてみるということをしている。

巡回して同じになるものはあるかを考える際、素数個の(a_1, …, a_p)を考える出発点とするとよくわからなくなる。

nを適当な数として、

(a_1, …, a_n)を1つ巡回させて同じになったら、2つ巡回させて同じになったら…というように考えるとよい。すると、i個巡回させて初めて同じになったとすると、nはiの倍数であるということがわかります。すると、素数個の(a_1, …, a_p)を巡回させた場合１個巡回させて初めて同じになるか、p個巡回させて初めて同じになるかのいずれかということがわかります。

「ガロア理論の頂を踏む（石井俊全著）」p. 493 引用ここから「

Gは位数5の元を持ちます。これをσとするとσ^5=eです。GがS_5の部分群であることを考えると、σは長さ5の巡回置換にになります。

」引用ここまで

σは長さ5の巡回置換になりますということは、以下のように考えればよい。

川久保勝夫著「線形代数学」第１版９刷のp69にあるように、任意の置換は、共通の文字を含まないいくつかの巡回置換の積としてあらわされ、この表し方は積の順序を除いて一意的である。

S_5の元は、巡回置換の積で例えば、(1, 2, 3)(4, 5)や(1, 2, 3, 4, 5)のように表されます。S_5の元で、長さ2～4の巡回置換を含むようなものは、5乗したときに単位元になりえない。σは単位元ではないので、長さ5の巡回置換であるといえる。

「ガロア理論の頂を踏む（石井俊全著）」p. 493 引用ここから「

次にS_5=<τ, σ>を示しましょう。

」引用ここまで

特殊な場合についてのみS_5=<τ, σ>を示している感がなんとなくした。可能な限り一般化して示したい気がする。

σ=(1, a_1, a_2, a_3, a_4), τ=(1, a_2)のようにすると、

σ^{-1} τ σ^{1}=(a_1, a_4)

σ^{-2} τ σ^{2}=(1, a_3)

σ^{-3} τ σ^{3}=(a_2, a_4)

σ^{-4} τ σ^{4}=(a_1, a_3)

1   a_2   a_4   a_1   a_3

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というあみだくじを考えると、S_5=<τ, σ>であることがわかる(p164参照)。