「ガロア理論の頂を踏む（石井俊全著）」p. 406
「ガロア理論の頂を踏む（石井俊全著）」p. 406 引用ここから「
定理5.36
Q上の方程式f(x)=0の最小分解体をL、そのガロア群をGとする。中間体Mと部分群Hがガロア対応しているとする。
また、これらを満たすとき、Gal(M/Q)～＝G/H
」引用ここまで（～＝は、＝の真上に～をつけたもの）
この定理は、後で、
Q ⊂ M_1 ⊂ M_2 ⊂ Lが
G ⊃ H_1 ⊃ H_2 ⊃{e}
のようにがロア対応しているものとする。
M_2がM_1のガロア拡大体である⇔H_2がH_1の正規部分群である
このとき、Gal(M_2/M_1)～＝H_1/H_2
である、というかたちで引用されますが、それほど自明とは思えませんでした。
定理5.36と同様に証明できると思います。
定理5.35より、任意のσ∈Gに対し、σ H_2 σ^{-1}と、σ(M_2)がガロア対応します。
⇒
M_2がM_1のガロア拡大体であるとき、M_1を不変にするM_2に作用する同型写像が全て自己同型写像になっている。
M_1を不変にするM_2に作用する同型写像は、H_1=Gal(L/M_1)で全てであり(Gに作用するときには異なっていたものが、M_2に作用するときには縮退してしまうものもあるが)、σ∈H_1について、σ(M_2)=M_2となる。
M_2とH_2がガロア対応し、σ(M_2)がσ H_2 σ^{-1}とガロア対応することから、
H_2 = σ H_2 σ^{-1}
これより、H_2はH_1の正規部分群になっている。
⇐
H_2がH_1の正規部分群であるとき、σ∈H_1について、σ H_2 σ^{-1} = H_2である。
M_2とH_2がガロア対応し、σ(M_2)がσ H_2 σ^{-1}とガロア対応することから、M_2=σ(M_2)となる。
H_1=Gal(L/M_1)でH_1はM_1の元を不変にするM_2に作用する同型写像を網羅しており、M_2=σ(M_2)よりM_2の自己同型写像になっている。よって、M_2/M_1はガロア拡大である。
Gal(M_2/M_1)～＝H_1/H_2について
H_1は、もともとはLに作用する自己同型写像でした。作用するfieldをM_2に限定すると作用が同じになってしまうものが出てきます（p. 359を読むとわかります）。H_1の元でM_2に作用するときに同じになってしまうもの同士でグルーピングします。各グループから代表を1つとってきて、それらをσ_1, …, σ_sとします。
写像ρとして、
Gal(M_2/M_1)→H_1/H_2
σ_i → σ_i H_2
を考えると、これは同型写像になっています。
∵ρ(σ_i )* ρ(σ_j)=σ_i H_2 σ_j H_2 = σ_i σ_j H_2 = ρ(σ_i * σ_j)
ここで、H_1/H_2 = {σ_1 H_2, …, σ_s H_2}と書けるのだろうかという疑問が沸くと思います。σ_i H_2とσ_j H_2が互いに異なることは、M_2に作用させたとき、σ_i H_2 (M_2) = σ_i (M_2)となることからわかります。
また、H_1/H_2 に実は、σ_1 H_2, …, σ_s H_2以外の元が存在しないか気になるかもしれません。仮に存在したとしてσ H_2とすると、これをM_2に作用させると、σ(M_2)となりますが、σ_1, …, σ_sでM_2に作用する自己同型写像を網羅したことに反します。
