全体として非常に丁寧に書かれているのでみんな買ってください。 前提とするのは高校生レベルの知識とはいえ、自分が高校生のときの能力で読み通すことができたかと思うときつそうな気がしますが。 著者にはまた、「ガロア理論の頂を踏む」のような本を出し…
「ガロア理論の頂を踏む（石井俊全著）」p. 488~493 では具体的な方程式x^5 - 6x + 3=0のガロア群がに同型で解が根号を用いて表されないということを示している。なんとなく駆け足感が否めない。 まず、定理6.11のコーシーの定理について 「ガロア理論の頂を…
「ガロア理論の頂を踏む（石井俊全著）」p. 480 引用ここから「 の拡大次数をとおきます。 , …, の最小公倍数をnとして、1の原始n乗根ζを拡大列に加えます。 Q(ζ)=(ζ)⊂(ζ)⊂…⊂(ζ)=(ζ) すると、(ζ)/(ζ)の拡大では、(ζ)に1の原始乗根が含まれていますから、定理…
「ガロア理論の頂を踏む（石井俊全著）」p. 472 引用ここから「 前の節の定理でn次円分体Q(ζ)から、x^n - a =0の１つの解n√aを加えたQ(n√a, ζ)への拡大では、Gal( Q(n√a, ζ)/Q(ζ) )が位数nの巡回群になりました。実は、この定理の逆が言えるのです。 」引用…
「ガロア理論の頂を踏む（石井俊全著）」p. 468 引用ここから「 Gal( K(n√a)/K )は巡回群です。 」引用ここまで 当該ページの議論では、f(x)=0の解のうちn√a ζ^tのtが最小となる正の数をdとして、 σ(n√a)=n√a ζ^dとおくと、dがnの約数になる点については議論…
「ガロア理論の頂を踏む（石井俊全著）」p. 461 引用ここから「 ５乗する自己同型写像σ(ζ)=ζ^5は次のようにして求めました。 σ(ζ)=ζ^xであるとします。 9の原始根は2 or 5なので、2べき、5べきは、 2, 4, 8, 7, 5, 1 or 5, 7, 8, 4, 2, 1 (mod 9) となります…
「ガロア理論の頂を踏む（石井俊全著）」p. 445 引用ここから「 定理5.36より、Gal(M/Q)～＝S_4/<α>であり 」引用ここまで この記述は、<α>がS_4の正規部分群ではないので誤り。 正しくは以下の通りだと思われる。 Q(s^2, t^2, u)⊂M 同ページにあるように[Q(…
「ガロア理論の頂を踏む（石井俊全著）」p. 406 引用ここから「 定理5.36 Q上の方程式f(x)=0の最小分解体をL、そのガロア群をGとする。中間体Mと部分群Hがガロア対応しているとする。 MがQのガロア拡大体である⇔HがGの正規部分群である。 また、これらを満た…
「ガロア理論の頂を踏む（石井俊全著）」p. 387 引用ここから「 Lの正規性により、Lの元βを解に含むM上のg(x)=0の解 …, はすべてLに含まれます。 」引用ここまで この記載は若干説明が足りていないと思われる。なぜなら正規性の定義として、 「ガロア理論の…
「ガロア理論の頂を踏む（石井俊全著）」p. 337 引用ここから「 [Q(α):Q(√2)]は、いくつになるのでしょうか。 」引用ここまで 本全体でQで示した定理をQを含むQよりも大きい体（例えば、Q(√2)）でも成り立つとして使うことが多々ありますが、Qを含むQよりも…
「ガロア理論の頂を踏む（石井俊全著）」p.288 引用ここから「 αのQ上の最小多項式f(x)を求め、その次数がnであれば、Q(α)に含まれる数はαのn-1次以下の多項式であらわされるすべての数です。このときQ(α)をn次拡大体と呼び、拡大体の次数nを[Q(α):Q]で表し…
「ガロア理論の頂を踏む（石井俊全著）」p. 155 引用ここから「 置換を作るには、あみだくじの下段に書かれた数字をその真上にある数字に"置き換える"と解釈します。 」引用ここまで 1が左から2番目のところにきて、2が左から3番目のところにきて、3が左から…
「ガロア理論の頂を踏む（石井俊全著）」p. 80 引用ここから「 a^x ≡ 1 (mod p)となるxのうち、最小となる正の整数をmとします。このようなmをaの位数といいます。 」引用ここまで 後々、説明を読むとわかるが若干説明が不足している。(Z/nZ)*の元aについて…
「ガロア理論の頂を踏む（石井俊全著）」p. 94 引用ここから「 h を (Z/pZ)* の原始根とします。このとき、h の mod p^n での位数を m とします。h^m ≡ 1 (mod p^n) より、h^m ≡ 1 (mod p) で、h の mod p での位数が p - 1ですから、m は p - 1 で割り切れ…
「ガロア理論の頂を踏む（石井俊全著、2016年10月21日第5刷）」を最近読了した。何点か気になる点があったのでブログに公開してみようと思う。純粋数学からは8年以上離れてしまっていたにもかかわらず読み通すことができ、著者には感謝である。
